Calculadora Integral Dupla Coordenadas Polares

Como usar esta calculadora

Para calcular uma integral dupla em coordenadas polares, siga estes passos:

1. Insira a função f(r,θ) que deseja integrar
2. Defina os limites de integração para θ (θ inicial e θ final)
3. Defina os limites de integração para r (r inicial e r final)
4. Clique em "Calcular" para obter o resultado

A calculadora mostrará o resultado numérico e um gráfico da função integrada quando possível.

Fórmula da integral dupla em coordenadas polares

A integral dupla em coordenadas polares é dada por:

Onde:

• f(r,θ) é a função a ser integrada
• r é o raio
• θ é o ângulo
• θ1 e θ2 são os limites de integração para θ
• r1(θ) e r2(θ) são os limites de integração para r

Exemplo de cálculo

Vamos calcular a integral dupla da função f(r,θ) = r com:

• Limites para θ: 0 a π/2
• Limites para r: 0 a 2

A integral fica:

Resolvendo:

1. Primeiro integre em relação a r:
   ∫ r² dr = [r³/3] de 0 a 2 = (8/3) - 0 = 8/3
2. Depois integre em relação a θ:
   ∫ (8/3) dθ = (8/3)θ de 0 a π/2 = (8/3)(π/2) = 4π/3

O resultado final é 4π/3.

Aplicações práticas

Integrais duplas em coordenadas polares são úteis em várias áreas:

• Cálculo de áreas e volumes em geometria
• Problemas de física envolvendo campos e potencial
• Análise de densidade de probabilidade em estatística
• Resolução de problemas de engenharia com simetria radial

Esta calculadora é especialmente útil quando o problema tem simetria radial ou quando os limites de integração são mais fáceis de expressar em coordenadas polares.