Calculadora De Integración Por Partes

¿Qué es la integración por partes?

La integración por partes es un método basado en la regla de integración por partes, que es análoga a la integración por sustitución. Este método se utiliza cuando una integral es un producto de dos funciones, una de las cuales puede derivarse fácilmente y la otra puede integrarse fácilmente.

El método se basa en la fórmula:

Donde:

• u es una función que se elige para que su derivada sea más fácil de integrar que la función original.
• dv es la parte de la integral que se elige para que su integral sea fácil de calcular.

Este método es especialmente útil para integrales que son productos de funciones algebraicas y trigonométricas.

Cómo usar la calculadora

Para usar la calculadora de integración por partes, sigue estos pasos:

1. Ingresa la función que deseas integrar en el campo "Función a integrar".
2. Selecciona la variable de integración (generalmente "x").
3. Define los límites de integración si es una integral definida.
4. Haz clic en "Calcular" para obtener el resultado.
5. Revisa la solución paso a paso en la sección de resultados.

Fórmula de integración por partes

La fórmula básica de integración por partes se expresa como:

Donde:

• u(x) es la primera función elegida.
• v(x) es la segunda función elegida.
• u'(x) es la derivada de u(x).

Esta fórmula se aplica repetidamente hasta que todas las integrales parciales se resuelvan.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Integral indefinida

Calcula ∫x e^x dx

Solución:

1. Elegir u = x y dv = e^x dx
2. Entonces du = dx y v = e^x
3. Aplicar la fórmula: ∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx
4. Integrar: ∫e^x dx = e^x + C
5. Resultado final: x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C

Ejemplo 2: Integral definida

Calcula ∫[0,1] x ln(x) dx

Solución:

1. Elegir u = ln(x) y dv = x dx
2. Entonces du = (1/x) dx y v = (x²)/2
3. Aplicar la fórmula: ∫[0,1] x ln(x) dx = [(x²)/2] ln(x) |[0,1] - ∫[0,1] (x²)/2 (1/x) dx
4. Simplificar: (1/2) ln(1) - (1/2) ln(0) - (1/2) ∫[0,1] x dx
5. Evaluar: 0 - ∞ - (1/4) [x² |[0,1]] = -∞ - 1/4
6. Resultado final: -∞ - 1/4 (la integral no converge)